一文整理《信号与系统》重点内容

基本概念

常见信号及其特性

1. 抽样信号

   表达式：

   $$ Sa(t) = {\sin t \over t} $$

   性质：

   • $Sa(t)$为偶函数
   • 当$t=0$时，$Sa(t)=1$为最大值，逐渐向两侧衰减
   • 当$t=\pm k\pi$时，$Sa(t)=0$

   图像：

   

   例题：绘制$f(t)= \pi {\displaystyle\frac{\sin \pi(t-2)}{\pi (t -2)}}$的波形

   解：

   根据原型$f(t) = \pi Sa(\pi (t-2))$

   1. 找顶点：

      令$x = \pi (t-2)$，则当$x = 0 $时，$Sa(t)$取到最大值，

      此时，$t = {\displaystyle\frac{x +2\pi}{\pi}} = 2$取到最大值,$Sa(\pi (t-2))$最大值为1，$f(t)$的最大值为$\pi$

   2. 找零点：

      当$x = \pi (t-2) = \pm k \pi$时，$t = {\displaystyle\frac{x+2\pi}{\pi}} = 2 \pm k$

      此时$f(t) = 0 $

   3. 画出函数图像：

      

2. 单位斜边信号

   表达式：

   $$ R(t)= \left \{ \begin{array}{c} t &,& t > 0 \\ \\ 0 &,& t < 0 \end{array} \right. $$

   图像：

   

3. 单位阶跃信号

   表达式：

   $$ u(t)= \left \{ \begin{array}{c} 1 &,& t > 0 \\ \\ 0 &,& t < 0 \end{array} \right. $$

   性质：

   • $u(t) = {\displaystyle \frac{dR(t)}{dt}} \quad,\quad R(t)={\displaystyle \int_{-\infty}^{t} u(t)d\tau}$
   • 单位阶跃函数可以表示单边信号

4. 单位冲激信号

   表达式：

   $$ u(t)= \left \{ \begin{array}{c} 1 &,& t < 0 \\ \\ {\displaystyle \frac{t}{\tau}} &,&0\le t \le \tau \\ \\ 0 &,& t > \iota \end{array} \right. $$

   函数图像：

   

   取样特性：

   $$ f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t) $$

   $$ f(t)\delta(t-t_0) = f(t_0)\delta(t-t_0) $$

   $$ {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt} = f(0){\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt} = f(0) $$

   $$ {\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt} = f(t_0){\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)dt} = f(t_0) $$

斜边信号，阶跃信号，冲激信号之间的关系：

$$ u(t)={\displaystyle \frac{dR(t)}{dt}} \quad , \quad \delta(t)={\displaystyle \frac{du(t)}{dt}} $$

信号的运算

1. 加减乘除：

2. 反褶运算： $f(t) \to f(-t)$

   

3. 尺度变化： $f(t) \to f(at)$

   • 当$a>1$时，$f(t)$波形压缩为原来的${\displaystyle \frac{1}{a}}$
   • 当$a<1$时，$f(t)$波形拓展为原来的${\displaystyle \frac{1}{a}}$

   

4. 时移变换：$f(t) \to f(t+t_0)$

   左加右减

   当$t_0 >0$函数值向右移动，当$t_0 < 0$函数值向左移动

   

5. 积分与微分

• 信号的积分是一种变上限积分一般是对$(-\infty,t)$上的积分

• 信号的微分求解过程与正常函数类似。但需要注意的是，在函数不连续点处的导数是冲激函数，冲激函数的强度为跳变量的大小。

  

卷积积分

两函数的卷积公式：

$$ f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau $$

计算卷积的步骤

• 变量替换：将$t \to \tau$，即$f_1(t)\to f_1(\tau) \quad , \quad f_2(t) \to f_2(\tau)$ ；
• 对$f_2(\tau)$做时移、反褶变换，得到$f_2(t-\tau)$；
• 两个函数相乘后求积分。

例题：如图两个信号$f_1(t)$和$f_2(t)$的波形如图。求$s(t)=f_1(t)*f_2(t)$。

解：

• 变量替换：将$t \to \tau$，即$f_1(t)\to f_1(\tau) \quad , \quad f_2(t) \to f_2(\tau)$ ；
• 对$f_2(\tau)$做时移、反褶变换，得到$f_2(t-\tau)$；

分类讨论：

①当$f_1(\tau)$与$f_2(t-\tau)$如图(c)时，即$t-1 \le0 \quad , \quad t \le 1$时，$f_1(\tau)$与$f_2(t-\tau)$无重合：

$$ s(t)=f_1(t)*f_2(t)=0 $$

②当$f_1(\tau)$与$f_2(t-\tau)$如图(d)时，即$t-4 \le0 \quad t-1 > 0 \quad , \quad 1 < t \le 4$时，$f_1(\tau)$与$f_2(t-\tau)$重合部分为$[0,t-1]$：

$$ s(t)=f_1(t)*f_2(t-\tau)=\int_{0}^{t-1}3\times3d\tau=9(t-1) $$

③当$f_1(\tau)$与$f_2(t-\tau)$如图(e)时，即$0 <t-4 \le 3 \quad , \quad 4 < t \le 7$时，$f_1(\tau)$与$f_2(t-\tau)$重合部分为$[t-4,3]$：

$$ s(t)=f_1(t)*f_2(t-\tau)=\int_{t-4}^{3}3\times3d\tau=-9(t-7) $$

④当$f_1(\tau)$与$f_2(t-\tau)$如图(f)时，即$t-4 > 3 \quad , \quad t > 7$时，$f_1(\tau)$与$f_2(t-\tau)$无重合：

$$ s(t)=f_1(t)*f_2(t)=0 $$

综上：

$$ s(t)= \left \{ \begin{array}{c} 0 &,& t \le 1 \\ 9(t-1) &,&1 < t \le 4 \\ -9(t-7) &,& 4 <t \le 7 \\ 0 &,& t > 7 \end{array} \right. $$

信号的分解

奇偶分解

$$ f(t) = f_e(t)+f_o(t) $$

其中对于偶分量：$f_e(t)=f_e(-t)$，对于奇分量：$f_o(t)=-f_o(-t)$

由此推出：

$$ f_e(t)={\displaystyle \frac{f(t)+f(-t)}{2}} $$

$$ f_o(t)={\displaystyle \frac{f(t)-f(-t)}{2}} $$

例题：将如图函数分解成奇分量与偶分量。

核心就是求出f(t)与−f(−t)；

其他分解

1. 直交流分量：$f(t)=f_d(t)+f_a(t)$
2. 脉冲分量：$f(t)={\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-\tau)d\tau}$
3. 正交分量

连续时域系统的时域分析

线性时不变系统的判断

叠加性与均匀性（线性）

给定系统，激励为$x_1(t),x_2(t)$，响应为$y_1(t),y_2(t)$，则有：

$$ T[k_1x_1(t)+k_2x_2(t)]=k_1T[x_1(t)]+k_2T[x_2(t)]=k_1y_1(t)+k_2y_2(t) $$

时不变性

给定系统，激励为$x(t)$，响应为$y(t)$，则有：$T[x(t)]=y(t)$，若激励$x(t+t_0)$的响应为$T[x(t+t_0)]=y(t+t_0)$，则系统时不变。

例题

判断$y(t)=e^{x(t)}$是什么类型的系统：

解：

积分与微分性质

给定系统，激励为$x(t)$，响应为$y(t)$，当激励为${\displaystyle \frac{dx(t)}{dt}}$时，响应为${\displaystyle \frac{dy(t)}{dt}}$；积分同理。

时域方程

建立微分方程

①表征方程的约束关系

②电路结构约束关系：KCL、KVL

求解微分方程

步骤1：求齐次解

• 写出特征方程

  对于方程：

  $$ a_n{\frac{d^ny(t)}{dt^n}}+a_{n-1}{\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}}+ \cdots +a_1{\frac{dy(t)}{dt}}+a_0y(t)=0 $$

  其特征方程为：

  $$ a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0 $$

• 求出特征根
  步骤2：求解特解

步骤3：将结果代入求待定系数

例题：给定微分方程

$$ \frac {\mathrm {d} ^ {2} y (t)}{\mathrm {d} t ^ {2}} + 3 \frac {\mathrm {d} y (t)}{\mathrm {d} t} + 2 y (t) = x (t) $$

当初始条件$y(0^+)=1,y'(0^+)=2$时，$x(t)=e^{-3t}$;

解（1）①微分方程的齐次解该微分方程对应的特征方程为

$$ \lambda^2+3\lambda+2=0 $$

特征方程对应的特征根为

$$ \lambda_1=-1,\lambda_2=-2 $$

因特征根为单根，故齐次解的形式为

$$ y_h(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t} $$

② 微分方程的特解

将激励代入微分方程右侧得到自由项的形式，因自由项形式中的一3不是特征根，所以查表得到特解形式为：Be^−3t，然后将特解形式代入微分方程，得到下式：

$$ 9Be^{-3t}+3(-3Be^{-3t})+2Be^{-3t}=e^{-3t} $$

根据微分方程对应项系数相等，可得$B = \frac{1}{2}$，所以微分方程的特解为

$$ y _ {\mathrm {p}} (t) = \frac {1}{2} \mathrm {e} ^ {- 3 t} $$

所以微分方程的完全解为

$$ y (t) = A _ {1} \mathrm {e} ^ {- t} + A _ {2} \mathrm {e} ^ {- 2 t} + \frac {1}{2} \mathrm {e} ^ {- 3 t} $$

将 y(0⁺) \= 1 ，y^′(0⁺) \= 2代人完全解中，可得：

$$ A _ {1} = \frac {9}{2} A _ {2} = - 4 $$

所以该微分方程的完全解为

$$ y (t) = \left(\frac {9}{2} e ^ {- t} - 4 e ^ {- 2 t} + \frac {1}{2} e ^ {- 3 t}\right) u (t) $$

零输入响应与零状态响应

完全响应=自由响应+强迫响应 $y(t)=y_h(t)+y_p(t)$

完全响应=零输入响应+零状态响应 $y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$

零输入响应：激励信号$x(t)=0$时所产生的响应；零状态响应：起始状态$y^{(k)}(0^-)=0$时所产生的激励。

线性时不变系统在一定条件下满足叠加性与微积分特性。

冲激响应

以$\delta(t)$作为激励，产生的零状态响应为“单位冲激响应”用$h(t)$表示。

求解冲激响应

①将$x(t)=\delta(t),y(t)=h(t)$带入原式；

②求解特征方程，得到特征根；

③求出$h(t),h'(t),h''(t)$（注意在必要时可使用取样特性化简）

④将$h(t),h'(t),h''(t)$带入原微分方程求解

冲激响应的零状态响应

$$ y_{zs}(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau $$

卷积的物理意义

交换律

激励信号与冲激响应之间具有互易性。

$$ f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t) $$

分配律

$$ f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t) $$

结合律

$$ f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]=[f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t) $$

连续信号的频域分析

三角形式的傅里叶级数

设周期信号$f(t)$，周期为$T$，角频率为${\displaystyle \Omega =\frac{2\pi}{T}}$，在狄里赫利条件下：

$$ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos (n\Omega t)+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin (n\Omega t) $$

其中（一个周期内）：

$$ \left \{ \begin{array}{c} {\displaystyle a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)dt} \\ \\ {\displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos (n\Omega t)dt} \\ \\ {\displaystyle b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin (n\Omega t)dt} \end{array} \right. $$

通过辅助角公式可以合并为：

$$ f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos (n\Omega t+\varphi_n) $$

其中：

$$ \left \{ \begin{array}{c} A_0=a_0 \\ A_n=a_n^2+b_n^2 \\ \varphi_n=-\arctan (b_n/a_n) \end{array} \right. $$

一个周期信号可以分解为多个分量：$A_0$直流分量、$A_1\cos(\Omega t+\varphi_1)$基波或一次谐波、$A_2\cos(\Omega t+\varphi_2)$二次谐波、...、$A_n\cos(\Omega t+\varphi_n)$n次谐波。

偶函数

当$f(t)$为偶函数时，$f(t)=f(-t)$

$$ a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos (n\Omega t)dt $$

$f(t)\cos (n\Omega t)$中$f(t)$为偶函数，$\cos (n\Omega t)$也为偶函数；偶函数×偶函数仍为偶函数，积分两侧面积相等，故：

$$ a_n=2\times\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos (n\Omega t)dt $$

$$ b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin (n\Omega t)dt $$

$f(t)\sin (n\Omega t)$中$f(t)$为偶函数，$\sin (n\Omega t)$也为奇函数；偶函数×奇函数为奇函数，积分两侧抵消，故：$b_n=0$

因此，偶函数的展开式只有余弦分量。

奇函数

当$f(t)$为奇函数时，$f(t)=-f(-t)$

$$ a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos (n\Omega t)dt $$

$f(t)\cos (n\Omega t)$中$f(t)$为奇函数，$\cos (n\Omega t)$也为奇函数；奇函数×偶函数为奇函数，积分两侧抵消，故：$a_n=0$

$$ b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin (n\Omega t)dt $$

$f(t)\sin (n\Omega t)$中$f(t)$为奇函数，$\sin (n\Omega t)$也为奇函数；奇函数×奇函数为偶函数，积分两侧面积相等，故：

$$ b_n=2\times\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin (n\Omega t)dt $$

因此，奇函数的展开式只有正弦分量。

奇谐函数

当$f(t)$为奇函数时，$f(t)=-f(t\pm\frac{T}{2})$,即信号波形沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下翻转后波形不发生变化。

指数形式傅里叶级数

$$ f(t)=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_ne^{j\varphi_n}e^{jn\Omega t} $$

令$F_n=\frac{1}{2}A_ne^{j\varphi_n}$，得：

$$ f(t)=\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\Omega t} $$

周期信号的频谱

频谱：周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率变的变化，分别为幅度谱和相位谱。

信号频谱的特点

①离散性：由不连续的谱线构成 ②谐波性：每条谱线只能出现在基波角频率的整数倍上 ③收敛性：越光滑，收敛速度越快

若$\frac{T_1}{\tau}=n$，则两个相邻的零点之间有$n-1$条谱线。在做题时，我们可以先求出$n\Omega_1=\frac{2\pi}{\tau}$时n的值，则n的正数倍处的频率也不可取。

当T不变，$\tau$减小，零点与零点之间的距离增大；当T变大，$\tau$不变，频谱变密。

非周期信号的频谱

$$ F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt $$

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)d\omega $$

记作：$F(j\omega)=\mathcal{F} [f(t)],f(t)=\mathcal{F}^{-1} [F(j\omega)]$

常见傅里叶变换

1. 单边指数信号

   $$ e^{-\alpha t}u(t)\leftrightarrow \frac{1}{\alpha+j\omega} $$

2. 双边指数信号

   $$ e^{-\alpha |t|}u(t)\leftrightarrow \frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2} $$

3. 对称矩形脉冲信号

   $$ E[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})] \leftrightarrow E\tau Sa(\frac{\omega\tau}{2}) $$

4. 冲激函数

   $$ \delta^{(n)}(t) \leftrightarrow (j\omega)^{(n)} $$

5. 常数“1”

   $$ 1 \leftrightarrow 3\pi\delta(t) $$

6. 符号函数

   $$ sng(t)=\left \{ \begin{array}{c} 1 &,& t > 0 \\ \\ -1 &,& t < 0 \end{array} \right. $$

   $$ sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{j\omega} $$

7. 阶跃函数

   $$ u(t)\leftrightarrow \pi\delta(t)+\frac{1}{j\omega} $$

傅里叶变化的性质

1. 线性性质

   若$f_1(t) \leftrightarrow F_1(j\omega),f_2(t) \leftrightarrow F_2(j\omega)$，则有

   $af_1(t)+bf_2(t) \leftrightarrow aF_1(j\omega)+bF_2(j\omega)$

2. 对偶性(不常考)

   若$f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$，则有：$f(-t)\leftrightarrow F(-j\omega)$

3. 对称性

   若$f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$，则有：$F(jt)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$

4. 尺度变换性

   若$f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$，则有：$f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a})$

5. 时移性

   若$f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$，则有：$f(t\pm t_0)\leftrightarrow e^{\pm j\omega t_0}F(j\omega)$

6. 频移性

   若$f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$，则有：$e^{\mp\omega_0t}f(t)\leftrightarrow F(j(\omega\pm\omega_0))$

7. 卷积定理

   若$f_1(t) \leftrightarrow F_1(j\omega),f_2(t) \leftrightarrow F_2(j\omega)$，则有

   $f_1(t)*f_2(t) \leftrightarrow F_1(j\omega)F_2(j\omega)$

   若$f_1(t) \leftrightarrow F_1(j\omega),f_2(t) \leftrightarrow F_2(j\omega)$，则有

   $f_1(t)f_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega)$

8. 时域微分积分性质

   若$f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$，

   则有：$f^{n}(t)\leftrightarrow (j\omega)^nF(j\omega)$

   则有：$\int_{-\infty}^{t}f(x)dx \leftrightarrow \pi F(0)+F(j\omega)/j\omega$

9. 频域微分积分性质

   若$f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$，

   则有：$(-jt)^{n}f(t)\leftrightarrow F^n(j\omega)$

   则有：$\pi f(0)\delta(t)+f(t)/(-jt) \leftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega}F(j\omega)d\omega$

周期信号的傅里叶变换

1. 三角函数

$$ \cos(\omega_0 t) \leftrightarrow 2\pi [\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)] $$

$$ \sin(\omega_0 t) \leftrightarrow 2\pi [\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)] $$

2. 一般周期信号

$$ F[f_T(t)]=2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\delta(\omega-n\Omega) $$

拉普拉斯变换

$$ F(s)=\int_{+\infty}^{-\infty}f(t)e^{-\sigma t}dt $$

$$ f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\omega}^{\sigma+j\omega}e^{st}ds $$

收敛域

使$f(t)$拉氏变换存在的$\sigma$取值范围，用ROC表示。其满足：

$$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|e^{-\sigma t}dt < \infty $$

常见拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的性质

1. 线性性质

   若$f_1(t) \leftrightarrow F_1(s),Re(s)>\sigma_1,f_2(t) \leftrightarrow F_2(s),Re(s)>\sigma_2,$

   则有：$a_1f_1(t)+a_2f_2(t) \leftrightarrow a_1F_1(s)+a_2F_2(s),Re(s) >\max(\sigma_1,\sigma_2)$

2. 尺度性质

   若$f(t) \leftrightarrow F(s),Re(s)>\sigma$，则有：$f(at)\leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a}),Re(s)>a\sigma_0$

3. 时移性质

   若$f(t) \leftrightarrow F(s),Re(s)>\sigma$，则有：$f(t-t_0)u(t-t_0)\leftrightarrow e^{-st_0},Re(s)>\sigma_0$

4. s域平移

   若$f(t) \leftrightarrow F(s),Re(s)>\sigma$，则有：$f(t)e^{s_0t}\leftrightarrow F(s-s_0)$

5. 时域微分与积分

   若$f(t) \leftrightarrow F(s),Re(s)>\sigma$，则有：

   $$ f'(t)\leftrightarrow sF(s)-f(0_-) $$

   $$ f''(t)=s^2F(s)-sf(0_-)-f'(0_-) $$

   $$ (\int_{0_-}^{t})^{n}f(x)dx\leftrightarrow \frac{1}{s^n}(s) $$

6. 卷积定理

   若$f_1(t) \leftrightarrow F_1(s),Re(s)>\sigma_1,f_2(t) \leftrightarrow F_2(s),Re(s)>\sigma_2,$则有：

   $$ f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(s)F_2(s) $$

   $$ f_1(t)f_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi j}F_1(\eta)F_2(s-\eta)d\eta $$

拉普拉斯反变换

若函数F(s)是s的有理分项，可写作：

$$ F(s)=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0} $$

若果m＜n，则F(s)为假分式，可使用长除法化简。

①极点是实数，无重根

$$ F(s)=\frac{K_1}{s-P_1}+\frac{K_2}{s-P_2}+\cdots+\frac{K_i}{s-P_i}+\cdots+\frac{K_n}{s-P_n} $$

其中：$K_i=(s-P_i)F(s)|_{s=P_i}$

②包含共轭极点

$$ F(s)=\frac{As+B}{s^2+bs+c}+\frac{A_i(s)}{B_i(s)} $$

③包含多重极点

用拉普拉斯变换求线性时不变系统

分析方法

①将时域电路图化成s域电路图

②对s域电路分析（KCL,KVL,网孔发，节点法），求出$I_k(s),U_k(s)$

③对$I_k(s),U_k(s)$取反变换

s域模型

$$ V_R(s)=RI_R(s) $$

$$ V_L(s)=sLI_L(s)-Li_L(0^-) $$

$$ V_C(s)=\frac{v_C(0^-)}{s}+\frac{1}{sC}I_C(s) $$

$$ I_L(s)=\frac{i_L(0^-)}{s}+\frac{v_L(s)}{sL} $$

$$ I_C(s)=sCU_C(s)-Cu_C(0^-) $$

微分方程变换求解

①两边同时取拉普拉斯变换

②合并同类项，将Y(s)表达式写出

③对式子求拉普拉斯反变换，得到$y(t)$

在Y(s)中，X(s)与他的系数所构成的是$Y_{zs}(s)$，剩余部分是$Y_{zi}(s)$

系统函数

$$ H(s)=\frac{Y_{zs}(s)}{X(s)} $$

$$ Y_{zs}= H(s)X(s),y_{zs}(t)=h(t)*x(t) $$

系统函数的零点分布

$$ H(s)=\frac{B(s)}{A(s)} $$

其中$A(s)=0$的根$P_1,P_2,\dots$为H(s)的极点；$B(s)=0$的根$\xi_1,\xi_2,\dots$为H(s)的零点。

系统函数的稳定性

$$ \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt \le M $$

H(s)所有的极点都在左半s平面则系统稳定

系统函数的频响特征

$$ H(s)|_{s=j\Omega}=H(j\Omega_0)=H_0e^{j\varphi_0} $$

稳态响应：

$$ y_{ss}=E_mH_0sin(\Omega_0 t+\varphi_0) $$

系统的框图

实际做题中，可以从以下方面考虑：

①选择一个求和器的输出作为中间变量X(s)；

②对求和器输入输出列出方程；

③整理

信号的流图

• 通路：从任一节点出发沿着之路箭头方向连续穿过各相连支路到达另一节点的路径；
• 环路：如果通路的终点就是通路起点，并且与任何其他节点相交不多于一次；
• 向前通路：从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次的路径。

系统模拟

直接形式

设：

$$ \frac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_2\frac{d^2x(t)}{dx^2}+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t) $$

$$ H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_2s^2+b_1s+b_0}{s^2+a_1s+a_0}=\frac{b_2+b_1s^{-1}+b_0s^{-2}}{s+a_1s^{-1}+a_0s^{-2}}=\frac{W(s)}{X(s)}\frac{Y(s)}{W(s)}=H_1(s)H_2(s) $$

其中

$$ H_1(s)=\frac{1}{s+a_1s^{-1}+a_0s^{-2}} $$

$$ H_2(s)=b_2+b_1s^{-1}+b_0s^{-2} $$

级联形式

$$ H(s)=A_0H_1(s)H_2(s)... H_k(s) $$

并联形式

$$ H(s)=C+H_1(s)+H_2(s)+... + H_k(s) $$

信号采样

$$ f_s(t)=f(t)\times p(t) $$

其中：$f_s(t)$为采样信号，$f(t)$为原始信号，$p(t)$为采样脉冲序列。

冲激采样

$$ f_s(t)=f(t)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s) $$

通过傅里叶变换得：

$$ F_s(j\Omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F[j(\Omega-n\Omega_s)] $$

奈奎斯特采样率

$f_m$为信号本身的频率。

最低允许取样率：$f_{smin}=2f_m$

最大允许取样间隔：$T_{smax}=1/2f_m$

写在最后的一些话

看到这里相比你也很累啦。文章的后半段确实略显仓促。最初，这个笔记只是用来简单概括一下这学期这门课所学的知识，并且为后面一些情形铺路，但后来就演变成了期末复习使用的知识点总结，但由于考试复习时间的紧张，因此后半部分就会显得粗糙了些，我会尽量慢慢完善，并在发行的电子文档中尽量完善。在整理这些东西的过程中，我发现，《信号与系统》是一门相当有意思的学科，他包含了电路、模电、复变函数与积分变换等多个学科的知识，许多知识相互关联。因此在之后的，如果我有空闲时间，或许会更加深入的去研究它；如果你也对这门课有兴趣，可以关注网站“信号与系统”的标签。